Pour avoir vécu la situation il y quelques mois, je vous fait part des remarques suivantes :
1)les tâches d'humidité peuvent être assimilées à un dégât des eaux.
2)ne pas oublier de contacter l'agence pour lui signifier le problème (certains contrats le stipulent expressement).
3)contacter l'assureur qui vous expliquera la marche à suivre : entreprise à contacter pour la réalisation des travaux, même si généralement l'assureur vous renvoie au syndic,
- frais avancés ou non puisque cette dernière question est prévue contractuellement (tout dépend de la police d'assurance)
-expert à contacter
4)saisir le syndic pour qu'il vienne constater les dégâts :
le syndic aura normalement à determiner si les dégâts proviennent d'un appartement voisin ou des parties communes (colonnes d'aération, tuyaux d'eau dans les murs...).
5) remplir le constat de dégât des eaux soit avec le syndic (si les dégâts proviennent des parties communes), soit avec le voisin.
6)faire faire un devis par l'entreprise conseillée par l'assureur, ou à défaut celle conseillée par le syndic.
7)faire avaliser le devis par l'expert dilligenté par l'assureur
(en lui précisant bien dans la conversation que vous êtes juriste/avocat, les experts sont souvent bien moins pointilleux)

faire réaliser les travaux en contactant l'agence pour le choix du papier peint : à défaut cela peut vous être opposé en sortie de bail.
9)pour le paiement des frais, je vous renvoie à votre police d'assurance. Soit ils sont avancés par vous puis l'assureur vous les rembourse, soit l'assureur s'en charge directement.
10)si le montant des travaux approche les 1500 €, attendez-vous à revoir l'expert. En effet en deça de ce montant, l'assureur ne se retourne pas contre l'assureur du responsable du dégât des eaux (accords entre assureurs). Au dessus, il se retourne. Donc lorsque le montant est légèrement inférieur à cette somme, le but de l'assureur est de franchir le seuil. Dans cette hypothèse, la procédure est retardée.
11) pour conclure : même si un seul mur est touché, toute la pièce est à refaire...
Cordialement,