Bien vivement merci pour la précision (pas un habitué de ce genre de prestations

).
De fait, vu de l'extérieur, le système est assez complexe et particulier (au regard du système français) :
1. le choix existe effectivement entre caisse publique et caisses privées mais (outre le fait que pour des raisons de proximité géographique le salarié privé d'emploi aura plus de chances de trouver une caisse privée -beaucoup plus nombreuses- qui ne soit pas trop éloignée de son domicile), il ne semble pas que le versement des indemnités soit du ressort exclusif des caisses publiques

:
-
"Vous pouvez choisir votre caisse de chômage parmi celles dont la liste est proposée ci-dessous (caisses privées et caisse publique)" conseille par exemple l'Etat de Genève <http://www.geneve.ch/emploi/demandeur/indemnite_caisse.asp?menu=indemnite&id=142>
- tandis qu'il est recommandé au salarié privé d'emploi de
"choisir une caisse de chômage; C'est elle qui vous indemnisera mensuellement lorsque vous lui remettrez l'extrait, rempli et signé, de vos données de contrôle. Vous avez le choix entre la Caisse cantonale de chômage et des caisses syndicales. En principe, vous ne pourrez plus changer de caisse en cours d'indemnisation" <http://www.guidechomage.ch/guide.asp?NoChapitre=2&NoPage=9&annexe=0>
2. par ailleurs, il semblerait :
- que la loi réserve le versement d'indemnités exclusivement par la caisse de chômage publique aux cas d'insolvabilité ou de faillite de l'employeur.
- et que (sauf erreur que les spécialistes auront le cas échéant l'amabilité de rectifier), les offices cantonaux de l'emploi n'ont pas pour mission de verser directement des indemnités mais (entre autres missions comme les permis de travail et les activités règlementées) de contrôler, via l'ORP (Office Régional de Placement), la situation du chômeur et de l'aider à retrouver un emploi. Cet ORP délivre tous les mois une feuille de situation nominative que le salarié privé d'emploi doit remplir et remettre à la Caisse de chômage qu'il a choisie afin de permettre à celle-ci de calculer et de lui verser l'indemnité éventuellement due.
3. pour l'anecdote, un collègue helvète me précise à l'instant qu'un ressortissant français qui se retrouverait au chômage en Suisse pourrait tout-à-fait percevoir ses indemnités en France, mais que les Assedic exigeront "curieusement" de lui qu'il travaille auparavant un jour au moins en France, au besoin "en faisant du baby-sitting chez des amis avec des chèques emploi". Mais là, à brûle pourpoint, on "sèche" un peu quant à savoir pourquoi...

Peut-être une façon de faire préalablement réintégrer le système français aux assurés?
Pour de plus amples informations sur la vie en Suisse, il existe de très nombreux sites assez bien faits (google.ch avec les mots clef "vivre en suisse" ou "implantation en suisse")
Enfin (last but not least), et sans malice excessive, sachez qu'en Suisse (romande of course) on use souvent du mot "Adieu" pour dire "Bonjour"